The mean weight of students at a certain college follows a normal distribution with a mean of 80kg and a standard deviation of 15kg. a. What is the probability that a randomly selected student weighs more than 50kg? (Give your answer to 4 decimal places.) Blank 1b. Find the value c such that P (|X - 80| < c) = 0.95. Blank 2

a. Para encontrar la probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar pese más de 50 kg, utilizamos la distribución normal estándar (Z). Primero, convertimos el peso a una puntuación Z.

La fórmula para la puntuación Z es: $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$

Donde:

• $X$ es el valor de interés (50 kg en este caso).
• $\mu$ es la media (80 kg).
• $\sigma$ es la desviación estándar (15 kg).

$Z = \frac{50 - 80}{15} = \frac{-30}{15} = -2$

Ahora, buscamos la probabilidad de que Z sea mayor que -2. Utilizamos una tabla de la distribución normal estándar o una calculadora para encontrar esta probabilidad.

La probabilidad de que Z sea menor que -2 es aproximadamente 0.0228. Por lo tanto, la probabilidad de que Z sea mayor que -2 es:

$P(Z > -2) = 1 - P(Z < -2) = 1 - 0.0228 = 0.9772$

Entonces, la probabilidad de que un estudiante pese más de 50 kg es aproximadamente 0.9772.

b. Para encontrar el valor $c$ tal que $P(|X - 80| < c) = 0.95$, primero entendemos que $P(|X - 80| < c)$ es equivalente a $P(80 - c < X < 80 + c)$.

Esto significa que queremos encontrar el valor de $c$ tal que la probabilidad de que $X$ esté dentro de $80 \pm c$ sea 0.95. En términos de la distribución normal estándar, esto se traduce a encontrar el valor de $Z$ tal que $P(-z < Z < z) = 0.95$.

Sabemos que para una distribución normal estándar, $P(-z < Z < z) = 0.95$ corresponde aproximadamente a $z = 1.96$ (esto se puede encontrar en una tabla de la distribución normal estándar).

Ahora, convertimos esta puntuación Z de vuelta a la escala original usando la fórmula inversa:

$c = z \cdot \sigma$

Donde:

• $z = 1.96$
• $\sigma = 15$

$c = 1.96 \cdot 15 = 29.4$

Por lo tanto, el valor de $c$ tal que $P(|X - 80| < c) = 0.95$ es 29.4.