y=−x 2 +4x+96

Claro, vamos a resolver la ecuación paso a paso.

La ecuación dada es: $y = -x^2 + 4x + 96$

1. Identificar el tipo de ecuación: Esta es una ecuación cuadrática de la forma $y = ax^2 + bx + c$, donde $a = -1$, $b = 4$, y $c = 96$.

2. Encontrar el vértice de la parábola: El vértice de una parábola dada por $y = ax^2 + bx + c$ se encuentra en $x = -\frac{b}{2a}$.

   Sustituyendo los valores de $a$ y $b$: $x = -\frac{4}{2(-1)} = -\frac{4}{-2} = 2$

3. Calcular el valor de $y$ en el vértice: Sustituimos $x = 2$ en la ecuación original para encontrar $y$: $y = - (2)^2 + 4(2) + 96$ $y = -4 + 8 + 96$ $y = 100$

   Así, el vértice de la parábola es $(2, 100)$.

4. Determinar las intersecciones con el eje $y$: La intersección con el eje $y$ ocurre cuando $x = 0$: $y = - (0)^2 + 4(0) + 96$ $y = 96$

   Entonces, la intersección con el eje $y$ es $(0, 96)$.

5. Determinar las intersecciones con el eje $x$: Para encontrar las intersecciones con el eje $x$, resolvemos la ecuación $-x^2 + 4x + 96 = 0$.

   Usamos la fórmula cuadrática $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$: $a = -1, \, b = 4, \, c = 96$ $x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(-1)(96)}}{2(-1)}$ $x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 384}}{-2}$ $x = \frac{-4 \pm \sqrt{400}}{-2}$ $x = \frac{-4 \pm 20}{-2}$

   Esto nos da dos soluciones: $x = \frac{-4 + 20}{-2} = \frac{16}{-2} = -8$ $x = \frac{-4 - 20}{-2} = \frac{-24}{-2} = 12$

   Entonces, las intersecciones con el eje $x$ son $(-8, 0)$ y $(12, 0)$.

Resumiendo:

• El vértice de la parábola es $(2, 100)$.
• La intersección con el eje $y$ es $(0, 96)$.
• Las intersecciones con el eje $x$ son $(-8, 0)$ y $(12, 0)$.