Given that 𝑓(𝑥)={𝑥3𝑖𝑓𝑥≥0𝑥𝑖𝑓𝑥<0f(x)={ x 3 x​ ifif​ x≥0x<0​ , which of the following functions is even?I. f(x)II. f(|x|)III. |f(x)|

Para determinar cuál de las funciones es par, primero recordemos que una función $g(x)$ es par si $g(-x) = g(x)$ para todo $x$ en el dominio de $g$.

I. $f(x)$

Dada la función $f(x)$:

$f(x) = \begin{cases} x^3 & \text{si } x \geq 0 \\ x & \text{si } x < 0 \end{cases}$

Para verificar si $f(x)$ es par, evaluamos $f(-x)$:

• Si $x \geq 0$, entonces $-x < 0$ y $f(-x) = -x$.
• Si $x < 0$, entonces $-x \geq 0$ y $f(-x) = (-x)^3 = -x^3$.

Comparando $f(-x)$ con $f(x)$:

• Si $x \geq 0$, $f(x) = x^3$ y $f(-x) = -x$. Claramente, $f(-x) \neq f(x)$.
• Si $x < 0$, $f(x) = x$ y $f(-x) = -x^3$. Nuevamente, $f(-x) \neq f(x)$.

Por lo tanto, $f(x)$ no es una función par.

II. $f(|x|)$

Evaluamos $f(|x|)$:

$f(|x|) = \begin{cases} (|x|)^3 & \text{si } |x| \geq 0 \\ |x| & \text{si } |x| < 0 \end{cases}$

Dado que $|x| \geq 0$ siempre, la función se simplifica a:

$f(|x|) = (|x|)^3$

Para verificar si $f(|x|)$ es par, evaluamos $f(|-x|)$:

$f(|-x|) = (|-x|)^3 = |x|^3$

Dado que $f(|-x|) = f(|x|)$, $f(|x|)$ es una función par.

III. $|f(x)|$

Evaluamos $|f(x)|$:

$|f(x)| = \begin{cases} |x^3| & \text{si } x \geq 0 \\ |x| & \text{si } x < 0 \end{cases}$

Para verificar si $|f(x)|$ es par, evaluamos $|f(-x)|$:

• Si $x \geq 0$, entonces $-x < 0$ y $|f(-x)| = |-x| = x$.
• Si $x < 0$, entonces $-x \geq 0$ y $|f(-x)| = |(-x)^3| = |x^3|$.

Comparando $|f(-x)|$ con $|f(x)|$:

• Si $x \geq 0$, $|f(x)| = |x^3| = x^3$ y $|f(-x)| = x$. Claramente, $|f(-x)| \neq |f(x)|$.
• Si $x < 0$, $|f(x)| = |x|$ y $|f(-x)| = |x^3|$. Nuevamente, $|f(-x)| \neq |f(x)|$.

Por lo tanto, $|f(x)|$ no es una función par.

Conclusión: La única función que es par es $f(|x|)$.