To find the total cost of producing 20 units of output given the marginal cost function \( MC = \frac{10}{Q} \) and the total cost is 500 when \( Q = 10 \), follow these steps: 1. **Understand the relationship between total cost and marginal cost**: The total cost \( TC \) can be found by integrating the marginal cost \( MC \) and adding the fixed cost \( C \). 2. **Set up the integral for total cost**: \[ TC(Q) = \int MC \, dQ + C \] Given \( MC = \frac{10}{Q} \), we have: \[ TC(Q) = \int \frac{10}{Q} \, dQ + C \] 3. **Find the antiderivative**: \[ \int \frac{10}{Q} \, dQ = 10 \ln|Q| + C \] So, \[ TC(Q) = 10 \ln|Q| + C \] 4. **Use the given information to find the constant \( C \)**: Given that \( TC(10) = 500 \): \[ 500 = 10 \ln(10) + C \] \[ C = 500 - 10 \ln(10) \] 5. **Find the total cost for \( Q = 20 \)**: \[ TC(20) = 10 \ln(20) + C \] Substitute \( C \): \[ TC(20) = 10 \ln(20) + 500 - 10 \ln(10) \] Simplify: \[ TC(20) = 10 (\ln(20) - \ln(10)) + 500 \] \[ TC(20) = 10 \ln\left(\frac{20}{10}\right) + 500 \] \[ TC(20) = 10 \ln(2) + 500 \] 6. **Calculate the numerical value**: \[ \ln(2) \approx 0.6931 \] \[ TC(20) = 10 \times 0.6931 + 500 \] \[ TC(20) = 6.931 + 500 \] \[ TC(20) \approx 506.93 \] So, the total cost of producing 20 units of output is approximately \( 506.93 \). The correct answer is: - \( 506.93 \)

Para encontrar el costo total de producir 20 unidades de producción dada la función de costo marginal $MC = \frac{10}{Q}$ y el costo total es 500 cuando $Q = 10$, sigue estos pasos:

1. Entiende la relación entre el costo total y el costo marginal: El costo total $TC$ se puede encontrar integrando el costo marginal $MC$ y agregando el costo fijo $C$.

2. Configura la integral para el costo total: $TC(Q) = \int MC \, dQ + C$ Dado $MC = \frac{10}{Q}$, tenemos: $TC(Q) = \int \frac{10}{Q} \, dQ + C$

3. Encuentra la antiderivada: $\int \frac{10}{Q} \, dQ = 10 \ln|Q| + C$ Entonces, $TC(Q) = 10 \ln|Q| + C$

4. Usa la información dada para encontrar la constante $C$: Dado que $TC(10) = 500$: $500 = 10 \ln(10) + C$ $C = 500 - 10 \ln(10)$

5. Encuentra el costo total para $Q = 20$: $TC(20) = 10 \ln(20) + C$ Sustituye $C$: $TC(20) = 10 \ln(20) + 500 - 10 \ln(10)$ Simplifica: $TC(20) = 10 (\ln(20) - \ln(10)) + 500$ $TC(20) = 10 \ln\left(\frac{20}{10}\right) + 500$ $TC(20) = 10 \ln(2) + 500$

6. Calcula el valor numérico: $\ln(2) \approx 0.6931$ $TC(20) = 10 \times 0.6931 + 500$ $TC(20) = 6.931 + 500$ $TC(20) \approx 506.93$

Por lo tanto, el costo total de producir 20 unidades de producción es aproximadamente $506.93$. La respuesta correcta es: - $506.93$