A wire is bent so as to form four sides of a square. A length of 4 cm is cut from it and the remainder is again bent to form the four sides of square. If the different in areas of the squares is 25 cm2, how long was the wire before being cut?

Vamos resolver o problema passo a passo.

1. Definindo as variáveis:

   • Seja $L$ o comprimento total do fio antes de ser cortado.
   • Quando o fio é dobrado para formar um quadrado, o perímetro do quadrado é igual ao comprimento do fio.

2. Formando o primeiro quadrado:

   • O perímetro do quadrado é $L$.
   • Cada lado do quadrado é $\frac{L}{4}$.
   • A área do primeiro quadrado é $\left(\frac{L}{4}\right)^2 = \frac{L^2}{16}$.

3. Cortando 4 cm do fio:

   • O comprimento restante do fio é $L - 4$.

4. Formando o segundo quadrado:

   • O perímetro do segundo quadrado é $L - 4$.
   • Cada lado do segundo quadrado é $\frac{L - 4}{4}$.
   • A área do segundo quadrado é $\left(\frac{L - 4}{4}\right)^2 = \frac{(L - 4)^2}{16}$.

5. Diferença entre as áreas dos quadrados:

   • A diferença entre as áreas dos quadrados é $25$ cm².
   • Portanto, temos a equação: $\frac{L^2}{16} - \frac{(L - 4)^2}{16} = 25$

6. Simplificando a equação:

   • Multiplicamos ambos os lados da equação por 16 para eliminar o denominador: $L^2 - (L - 4)^2 = 400$
   • Expandimos $(L - 4)^2$: $L^2 - (L^2 - 8L + 16) = 400$
   • Simplificamos a equação: $L^2 - L^2 + 8L - 16 = 400$ $8L - 16 = 400$
   • Resolvemos para $L$: $8L = 416$ $L = 52$

Portanto, o comprimento do fio antes de ser cortado era de 52 cm.