A man invested 13 of his capital at 7%; 14 at 8% and the remainder at 10%. If his annual income is ` 561,find the capital.

Vamos a resolver el problema paso a paso.

1. Sea $C$ el capital total del hombre.
2. Según el problema, invirtió $\frac{1}{3}$ de su capital al 7%, $\frac{1}{4}$ al 8% y el resto al 10%.

Primero, calculamos las fracciones del capital invertidas:

• Inversión al 7%: $\frac{1}{3}C$
• Inversión al 8%: $\frac{1}{4}C$

3. El resto del capital se invierte al 10%. Para encontrar esta cantidad, restamos las fracciones anteriores del total: $\text{Resto} = C - \left(\frac{1}{3}C + \frac{1}{4}C\right)$

4. Simplificamos la expresión: $\text{Resto} = C - \left(\frac{4}{12}C + \frac{3}{12}C\right)$ $\text{Resto} = C - \left(\frac{7}{12}C\right)$ $\text{Resto} = \frac{5}{12}C$

5. Ahora, calculamos los ingresos anuales de cada inversión:

• Ingreso del 7%: $\frac{1}{3}C \times 0.07 = \frac{0.07}{3}C$
• Ingreso del 8%: $\frac{1}{4}C \times 0.08 = \frac{0.08}{4}C$
• Ingreso del 10%: $\frac{5}{12}C \times 0.10 = \frac{0.10 \times 5}{12}C$

6. Sumamos todos los ingresos anuales para igualarlos a 561: $\frac{0.07}{3}C + \frac{0.08}{4}C + \frac{0.10 \times 5}{12}C = 561$

7. Simplificamos las fracciones: $\frac{0.07}{3}C = \frac{0.07C}{3}$ $\frac{0.08}{4}C = \frac{0.08C}{4}$ $\frac{0.10 \times 5}{12}C = \frac{0.50C}{12}$

8. Sumamos las fracciones: $\frac{0.07C}{3} + \frac{0.08C}{4} + \frac{0.50C}{12} = 561$

9. Encontramos un denominador común (12) para sumar las fracciones: $\frac{0.28C}{12} + \frac{0.24C}{12} + \frac{0.50C}{12} = 561$ $\frac{0.28C + 0.24C + 0.50C}{12} = 561$ $\frac{1.02C}{12} = 561$

10. Multiplicamos ambos lados por 12 para despejar $C$: $1.02C = 561 \times 12$ $1.02C = 6732$

11. Finalmente, dividimos ambos lados por 1.02 para encontrar $C$: $C = \frac{6732}{1.02}$ $C = 6600$

Por lo tanto, el capital total del hombre es ` 6600.