n a school, the ratio of students in three sections A, B and C is 17 : 13 : 15. Due to the Inter-School competition, some new students were added to sections A and C. As a result, the ratio of the students of sections A, B and C becomes 14 : 10 : 23. What is the minimum possible number of students that were there in the three sections initially?

Vamos a resolver el problema paso a paso.

1. Definición de variables:

   • Sea $A$, $B$ y $C$ el número inicial de estudiantes en las secciones A, B y C, respectivamente.
   • Según el problema, la relación inicial es $17:13:15$. Esto significa que podemos escribir: $A = 17k, \quad B = 13k, \quad C = 15k$ donde $k$ es una constante positiva.

2. Nuevos estudiantes añadidos:

   • Supongamos que se añaden $x$ estudiantes a la sección A y $y$ estudiantes a la sección C.
   • Entonces, los nuevos números de estudiantes en las secciones A y C serán $A + x$ y $C + y$, respectivamente.
   • La sección B no cambia, por lo que sigue siendo $B$.

3. Nueva relación de estudiantes:

   • La nueva relación de estudiantes es $14:10:23$. Esto significa que podemos escribir: $\frac{A + x}{B} = \frac{14}{10} \quad \text{y} \quad \frac{C + y}{B} = \frac{23}{10}$

4. Sustitución de valores:

   • Sustituyendo $A = 17k$, $B = 13k$ y $C = 15k$ en las ecuaciones anteriores, obtenemos: $\frac{17k + x}{13k} = \frac{14}{10} \quad \text{y} \quad \frac{15k + y}{13k} = \frac{23}{10}$

5. Resolución de las ecuaciones:

   • Resolviendo la primera ecuación: $\frac{17k + x}{13k} = \frac{14}{10} \implies 10(17k + x) = 14(13k) \implies 170k + 10x = 182k \implies 10x = 12k \implies x = \frac{6k}{5}$
   • Resolviendo la segunda ecuación: $\frac{15k + y}{13k} = \frac{23}{10} \implies 10(15k + y) = 23(13k) \implies 150k + 10y = 299k \implies 10y = 149k \implies y = \frac{149k}{10}$

6. Número mínimo de estudiantes:

   • Para que $x$ y $y$ sean números enteros, $k$ debe ser un múltiplo de 5.
   • El valor mínimo de $k$ que satisface esta condición es $k = 5$.

7. Cálculo del número inicial de estudiantes:

   • Sustituyendo $k = 5$ en $A = 17k$, $B = 13k$ y $C = 15k$: $A = 17 \times 5 = 85, \quad B = 13 \times 5 = 65, \quad C = 15 \times 5 = 75$
   • El número total inicial de estudiantes es: $A + B + C = 85 + 65 + 75 = 225$

Por lo tanto, el número mínimo posible de estudiantes que había inicialmente en las tres secciones es 225.