Use De Moivre's Theorem, or otherwise, to calculate z=(−1+3–√i)4𝑧=(−1+3𝑖)4 in polar form with principal argument. z𝑧 = Answer 1 Question 15 cis(cis( Answer 2 Question 15π/𝜋/Answer 3 Question 15)

Para resolver $z = (-1 + \sqrt{3}i)^4$ usando el Teorema de De Moivre, primero convertimos $-1 + \sqrt{3}i$ a su forma polar.

1. Calcular el módulo $r$: $r = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$

2. Calcular el argumento $\theta$: $\theta = \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{-1}\right)$ Dado que el número complejo está en el segundo cuadrante (porque la parte real es negativa y la parte imaginaria es positiva), el argumento es: $\theta = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$

3. Convertir a forma polar: $-1 + \sqrt{3}i = 2 \text{cis}\left(\frac{2\pi}{3}\right)$

4. Aplicar el Teorema de De Moivre: $z^4 = \left(2 \text{cis}\left(\frac{2\pi}{3}\right)\right)^4 = 2^4 \text{cis}\left(4 \cdot \frac{2\pi}{3}\right)$ $z^4 = 16 \text{cis}\left(\frac{8\pi}{3}\right)$

5. Ajustar el argumento al intervalo principal $[0, 2\pi)$: $\frac{8\pi}{3} = 2\pi + \frac{2\pi}{3}$ $\frac{8\pi}{3} \equiv \frac{2\pi}{3} \pmod{2\pi}$

Por lo tanto, la forma polar de $z^4$ con argumento principal es: $z^4 = 16 \text{cis}\left(\frac{2\pi}{3}\right)$

Respuestas:

1. $16$
2. $\text{cis}$
3. $\frac{2\pi}{3}$