For z=x+iy𝑧=𝑥+𝑖𝑦 find the values x𝑥 and y𝑦 satisfying 2z1+i−2zi=52+i2𝑧1+𝑖−2𝑧𝑖=52+𝑖.

Para resolver la ecuación $2z(1+i) - 2z(i) = 5(2+i)$, primero descomponemos $z$ en sus partes real e imaginaria, es decir, $z = x + iy$.

1. Sustituimos $z$ en la ecuación: $2(x + iy)(1 + i) - 2(x + iy)i = 5(2 + i)$

2. Expandimos los términos: $2(x + iy)(1 + i) = 2x(1 + i) + 2iy(1 + i) = 2x + 2xi + 2iy + 2i^2y = 2x + 2xi + 2iy - 2y$ $-2(x + iy)i = -2xi - 2i^2y = -2xi + 2y$

3. Sumamos los términos: $2x + 2xi + 2iy - 2y - 2xi + 2y = 2x + 2iy$

4. Igualamos al lado derecho de la ecuación: $2x + 2iy = 5(2 + i) = 10 + 5i$

5. Igualamos las partes reales e imaginarias: $2x = 10 \quad \text{y} \quad 2y = 5$

6. Resolviendo para $x$ y $y$: $x = \frac{10}{2} = 5$ $y = \frac{5}{2} = 2.5$

Por lo tanto, los valores de $x$ y $y$ que satisfacen la ecuación son $x = 5$ y $y = 2.5$.