1. Determine whether each of these functions is O(x).a) f (x) = 10 b) f (x) = 3x + 7 c) f (x) = x2 + x + 1 d) f (x) = 5 log x

Para determinar si cada una de las funciones es O(x), debemos verificar si existe una constante $c$ y un valor $x_0$ tal que $f(x) \leq c \cdot x$ para todo $x \geq x_0$.

a) $f(x) = 10$

Para cualquier $x \geq 1$, podemos elegir $c = 10$ y $x_0 = 1$: $10 \leq 10 \cdot x$ Por lo tanto, $f(x) = 10$ es O(x).

b) $f(x) = 3x + 7$

Para cualquier $x \geq 1$, podemos elegir $c = 10$ y $x_0 = 1$: $3x + 7 \leq 3x + 7x = 10x$ Por lo tanto, $f(x) = 3x + 7$ es O(x).

c) $f(x) = x^2 + x + 1$

Para cualquier $x \geq 1$, no podemos encontrar una constante $c$ tal que $x^2 + x + 1 \leq c \cdot x$ porque $x^2$ crece más rápido que $x$. Por lo tanto, $f(x) = x^2 + x + 1$ no es O(x).

d) $f(x) = 5 \log x$

Para cualquier $x \geq 1$, podemos elegir $c = 5$ y $x_0 = 1$: $5 \log x \leq 5x$ Por lo tanto, ( f(x) = 5