x2−9x2−25 ÷ x2−8x+15x2+7x+10

Claro, vamos a resolver la expresión paso a paso.

La expresión dada es:

$\frac{x^2 - 9}{x^2 - 25} \div \frac{x^2 - 8x + 15}{x^2 + 7x + 10}$

Primero, recordemos que dividir por una fracción es lo mismo que multiplicar por su recíproco. Entonces, podemos reescribir la expresión como:

$\frac{x^2 - 9}{x^2 - 25} \times \frac{x^2 + 7x + 10}{x^2 - 8x + 15}$

Ahora, factorizamos cada uno de los polinomios:

1. $x^2 - 9$ es una diferencia de cuadrados: $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$

2. $x^2 - 25$ es una diferencia de cuadrados: $x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5)$

3. $x^2 + 7x + 10$ es un trinomio cuadrado perfecto: $x^2 + 7x + 10 = (x + 2)(x + 5)$

4. $x^2 - 8x + 15$ es un trinomio cuadrado perfecto: $x^2 - 8x + 15 = (x - 3)(x - 5)$

Sustituimos las factorizaciones en la expresión original:

$\frac{(x - 3)(x + 3)}{(x - 5)(x + 5)} \times \frac{(x + 2)(x + 5)}{(x - 3)(x - 5)}$

Ahora, simplificamos cancelando los factores comunes en el numerador y el denominador:

$\frac{(x - 3)(x + 3)}{(x - 5)(x + 5)} \times \frac{(x + 2)(x + 5)}{(x - 3)(x - 5)} = \frac{(x + 3)}{(x + 5)} \times \frac{(x + 2)}{(x - 5)}$

Multiplicamos las fracciones:

$\frac{(x + 3)(x + 2)}{(x + 5)(x - 5)}$

Y esta es la expresión simplificada.