0∫−1 (4⋅x+12)⋅e2⋅xdx

Claro, vamos a resolver la integral paso a paso.

La integral que tenemos es:

$\int_{-1}^{0} (4x + 12) e^{2x} \, dx$

Para resolver esta integral, podemos usar la técnica de integración por partes. Recordemos que la fórmula de integración por partes es:

$\int u \, dv = uv - \int v \, du$

Primero, identificamos $u$ y $dv$:

$u = 4x + 12$ $dv = e^{2x} \, dx$

Ahora, derivamos $u$ y encontramos la integral de $dv$:

$du = 4 \, dx$ $v = \frac{1}{2} e^{2x}$

Aplicamos la fórmula de integración por partes:

$\int_{-1}^{0} (4x + 12) e^{2x} \, dx = \left. (4x + 12) \cdot \frac{1}{2} e^{2x} \right|_{-1}^{0} - \int_{-1}^{0} \frac{1}{2} e^{2x} \cdot 4 \, dx$

Simplificamos:

$= \left. (4x + 12) \cdot \frac{1}{2} e^{2x} \right|_{-1}^{0} - 2 \int_{-1}^{0} e^{2x} \, dx$

Evaluamos la primera parte en los límites de integración:

$\left. (4x + 12) \cdot \frac{1}{2} e^{2x} \right|_{-1}^{0} = \left[ (4(0) + 12) \cdot \frac{1}{2} e^{2(0)} \right] - \left[ (4(-1) + 12) \cdot \frac{1}{2} e^{2(-1)} \right]$

$= \left[ 12 \cdot \frac{1}{2} e^{0} \right] - \left[ (4(-1) + 12) \cdot \frac{1}{2} e^{-2} \right]$

$= 6 - \left[ (12 - 4) \cdot \frac{1}{2} e^{-2} \right]$

$= 6 - \left[ 8 \cdot \frac{1}{2} e^{-2} \right]$

$= 6 - 4e^{-2}$

Ahora, evaluamos la segunda parte de la integral:

$2 \int_{-1}^{0} e^{2x} \, dx$

Para esto, integramos $e^{2x}$:

$\int e^{2x} \, dx = \frac{1}{2} e^{2x}$

Entonces:

$2 \int_{-1}^{0} e^{2x} \, dx = 2 \left. \frac{1}{2} e^{2x} \right|_{-1}^{0}$

$= \left. e^{2x} \right|_{-1}^{0}$

Evaluamos en los límites de integración:

$= e^{2(0)} - e^{2(-1)}$

$= e^{0} - e^{-2}$

$= 1 - e^{-2}$

Finalmente, combinamos ambas partes:

$6 - 4e^{-2} - (1 - e^{-2})$

$= 6 - 4e^{-2} - 1 + e^{-2}$

$= 5 - 3e^{-2}$

Por lo tanto, el valor de la integral es:

$\boxed{5 - 3e^{-2}}$