Suppose 𝐹(𝑥)=𝑥2𝑥2−7F(x)= x 2 −7x 2 ​ , and 𝐹(𝑥)=(ℎ∘𝑔)(𝑥)F(x)=(h∘g)(x). Which of the following are possible definitions for h and g?I. ℎ(𝑥)=𝑥,𝑔(𝑥)=𝑥2𝑥2−7II. ℎ(𝑥)=𝑥2,𝑔(𝑥)=𝑥𝑥−7III. ℎ(𝑥)=𝑥4𝑥4−7,𝑔(𝑥)=∣𝑥∣IV. ℎ(𝑥)=𝑥𝑥−7,𝑔(𝑥)=𝑥2​ I. h(x)=x,g(x)= x 2 −7x 2 ​ II. h(x)=x 2 ,g(x)= x−7x​ III. h(x)= x 4 −7x 4 ​ ,g(x)= ∣x∣​ IV. h(x)= x−7x​ ,g(x)=x 2 ​ A.II and III onlyB.I and II onlyC.I and IV onlyD.I, III and IV onlyE.I, II, III and IV

Para resolver el problema, necesitamos encontrar funciones $h(x)$ y $g(x)$ tales que $(h \circ g)(x) = F(x)$. Esto significa que $h(g(x)) = F(x)$.

Dado que $F(x) = \frac{x^2}{x^2 - 7}$, vamos a verificar cada una de las opciones:

I. $h(x) = x$, $g(x) = \frac{x^2}{x^2 - 7}$

• $(h \circ g)(x) = h(g(x)) = h\left(\frac{x^2}{x^2 - 7}\right) = \frac{x^2}{x^2 - 7}$
• Esto coincide con $F(x)$, por lo que esta opción es válida.

II. $h(x) = x^2$, $g(x) = \frac{x}{x - 7}$

• $(h \circ g)(x) = h(g(x)) = h\left(\frac{x}{x - 7}\right) = \left(\frac{x}{x - 7}\right)^2 = \frac{x^2}{(x - 7)^2}$
• Esto no coincide con $F(x)$, por lo que esta opción no es válida.

III. $h(x) = \frac{x^4}{x^4 - 7}$, $g(x) = |x|$

• $(h \circ g)(x) = h(g(x)) = h(|x|) = \frac{|x|^4}{|x|^4 - 7} = \frac{x^4}{x^4 - 7}$
• Esto no coincide con $F(x)$, por lo que esta opción no es válida.

IV. $h(x) = \frac{x}{x - 7}$, $g(x) = x^2$

• $(h \circ g)(x) = h(g(x)) = h(x^2) = \frac{x^2}{x^2 - 7}$
• Esto coincide con $F(x)$, por lo que esta opción es válida.

Por lo tanto, las opciones válidas son I y IV.

La respuesta correcta es: C. I y IV solamente