Find the area enclosed by the curve r=1+cosθ and r=1 the radius vectors at θ=0 to θ=pi/2.

Para encontrar el área encerrada por las curvas $r = 1 + \cos \theta$ y $r = 1$ en el intervalo de $\theta = 0$ a $\theta = \frac{\pi}{2}$, seguimos estos pasos:

1. Identificar las curvas y el intervalo:

   • La primera curva es $r = 1 + \cos \theta$.
   • La segunda curva es $r = 1$.
   • El intervalo de $\theta$ es de $0$ a $\frac{\pi}{2}$.

2. Encontrar los puntos de intersección:

   • Igualamos las dos ecuaciones para encontrar los puntos donde se intersectan: $1 + \cos \theta = 1$
   • Simplificando, obtenemos: $\cos \theta = 0$
   • Esto ocurre en $\theta = \frac{\pi}{2}$.

3. Determinar el área entre las curvas:

   • El área encerrada entre dos curvas en coordenadas polares se calcula usando la fórmula: $A = \frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} \left( r_1^2 - r_2^2 \right) d\theta$
   • En este caso, $r_1 = 1 + \cos \theta$ y $r_2 = 1$, y el intervalo es de $0$ a $\frac{\pi}{2}$.

4. Configurar la integral:

   • Sustituimos $r_1$ y $r_2$ en la fórmula del área: $A = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left( (1 + \cos \theta)^2 - 1^2 \right) d\theta$
   • Simplificamos la expresión dentro de la integral: $(1 + \cos \theta)^2 - 1 = 1 + 2\cos \theta + \cos^2 \theta - 1 = 2\cos \theta + \cos^2 \theta$

5. Resolver la integral:

   • La integral se convierte en: $A = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (2\cos \theta + \cos^2 \theta) d\theta$
   • Separamos la integral en dos partes: $A = \frac{1}{2} \left( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2\cos \theta \, d\theta + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 \theta \, d\theta \right)$

6. Calcular cada integral por separado:

   • Para la primera integral: $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2\cos \theta \, d\theta = 2 \left[ \sin \theta \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = 2(1 - 0) = 2$
   • Para la segunda integral, usamos la identidad $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$: $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 \theta \, d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos 2\theta}{2} \, d\theta = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 + \cos 2\theta) \, d\theta$ $= \frac{1}{2} \left( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 \, d\theta + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos 2\theta \, d\theta \right)$ $= \frac{1}{2} \left( \left[ \theta \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} + \left[ \frac{\sin 2\theta}{2} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \right)$ $= \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} + 0 \right) = \frac{\pi}{4}$

7. Sumar los resultados:

   • Sumamos las dos integrales: $A = \frac{1}{2} \left( 2 + \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{8 + \pi}{4} \right) = \frac{8 + \pi}{8}$

Por lo tanto, el área encerrada por las curvas $r = 1 + \cos \theta$ y $r = 1$ desde $\theta = 0$ hasta $\theta = \frac{\pi}{2}$ es: $A = \frac{8 + \pi}{8}$