Soit E l’ensemble des applications f : [0, +∞[→ R continues telles que l’int´egrale∫ +∞0f (t)2e−tdtconverge.1. Montrer que E est un R-espace vectoriel.

Pour montrer que E est un R-espace vectoriel, nous devons vérifier les deux propriétés suivantes :

1. L'addition de deux éléments de E donne un élément de E.
2. La multiplication d'un élément de E par un scalaire donne un élément de E.

Commençons par la première propriété. Soit f et g deux éléments de E. Nous devons montrer que h = f + g appartient également à E. C'est-à-dire que l'intégrale ∫_0^+∞ h(t)²e^-t dt converge. Mais h(t)² = (f(t) + g(t))² = f(t)² + 2f(t)g(t) + g(t)². Comme f et g sont dans E, les intégrales ∫_0^+∞ f(t)²e^-t dt et ∫_0^+∞ g(t)²e^-t dt convergent. De plus, l'intégrale ∫_0^+∞ 2f(t)g(t)e^-t dt converge également car elle est dominée par l'intégrale ∫_0^+∞ (f(t)² + g(t)²)e^-t dt qui est la somme de deux intégrales convergentes. Donc l'intégrale ∫_0^+∞ h(t)²e^-t dt = ∫_0^+∞ f(t)²e^-t dt + ∫_0^+∞ 2f(t)g(t)e^-t dt + ∫_0^+∞ g(t)²e^-t dt converge, donc h est dans E.

Passons à la deuxième propriété. Soit f un élément de E et λ un scalaire. Nous devons montrer que h = λf appartient également à E. C'est-à-dire que l'intégrale ∫_0^+∞ h(t)²e^-t dt converge. Mais h(t)² = (λf(t))² = λ²f(t)². Comme f est dans E, l'intégrale ∫_0^+∞ f(t)²e^-t dt converge. Donc l'intégrale ∫_0^+∞ λ²f(t)²e^-t dt = λ² ∫_0^+∞ f(t)²e^-t dt converge, donc h est dans E.

Nous avons donc montré que E est un R-espace vectoriel.