Verifique que si ϕ1 y ϕ2 son soluciones de la ecuación del oscilador armónico libre, cualquiercombinación lineal ϕ = Aϕ1 + Bϕ2 también es solución. Muestre que esto también vale si lafuerza disipativa es proporcional a la velocidad. ¿Vale si es un rozamiento constante?
Question
Verifique que si ϕ1 y ϕ2 son soluciones de la ecuación del oscilador armónico libre, cualquiercombinación lineal ϕ = Aϕ1 + Bϕ2 también es solución. Muestre que esto también vale si lafuerza disipativa es proporcional a la velocidad. ¿Vale si es un rozamiento constante?
Solution
La ecuación del oscilador armónico libre es d²ϕ/dt² + ω²ϕ = 0. Si ϕ1 y ϕ2 son soluciones, entonces cumplen la ecuación, es decir:
d²ϕ1/dt² + ω²ϕ1 = 0 d²ϕ2/dt² + ω²ϕ2 = 0
Consideremos una combinación lineal ϕ = Aϕ1 + Bϕ2. Derivamos esta expresión dos veces:
dϕ/dt = Adϕ1/dt + Bdϕ2/dt d²ϕ/dt² = Ad²ϕ1/dt² + Bd²ϕ2/dt²
Sustituyendo en la ecuación del oscilador obtenemos:
Ad²ϕ1/dt² + Bd²ϕ2/dt² + ω²(Aϕ1 + Bϕ2) = A(d²ϕ1/dt² + ω²ϕ1) + B(d²ϕ2/dt² + ω²ϕ2) = 0
Por lo tanto, cualquier combinación lineal de soluciones también es solución.
Si la fuerza disipativa es proporcional a la velocidad, la ecuación del oscilador se convierte en d²ϕ/dt² + γdϕ/dt + ω²ϕ = 0. Si ϕ1 y ϕ2 son soluciones, entonces:
d²ϕ1/dt² + γdϕ1/dt + ω²ϕ1 = 0 d²ϕ2/dt² + γdϕ2/dt + ω²ϕ2 = 0
Siguiendo un procedimiento similar al anterior, se puede demostrar que cualquier combinación lineal de estas soluciones también es solución.
En cambio, si el rozamiento es constante, la ecuación del oscilador se convierte en d²ϕ/dt² + ω²ϕ = F, donde F es una constante. En este caso, no es cierto que cualquier combinación lineal de soluciones sea también solución, ya que la constante F rompe la linealidad de la ecuación.
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