A population's standard deviation is 12. We want to estimate the population mean with a margin of error of 2, with a 95% level of confidence. (Use t Distribution Table & z Distribution Table.)How large a sample is required? (Round your intermediate calculations to 2 decimal places and round up your answer to the next whole number.)

Para resolver este problema, necesitamos determinar el tamaño de la muestra requerido para estimar la media poblacional con un margen de error específico y un nivel de confianza dado. Aquí están los pasos detallados:

1. Identificar los datos proporcionados:

   • Desviación estándar de la población ($\sigma$): 12
   • Margen de error (E): 2
   • Nivel de confianza: 95%

2. Determinar el valor crítico (z) para el nivel de confianza:

   • Para un nivel de confianza del 95%, el valor crítico z correspondiente es aproximadamente 1.96 (esto se obtiene de la tabla de distribución normal estándar).

3. Utilizar la fórmula para el tamaño de la muestra (n): La fórmula para el tamaño de la muestra cuando se conoce la desviación estándar de la población es: $n = \left( \frac{z \cdot \sigma}{E} \right)^2$

4. Sustituir los valores en la fórmula: $n = \left( \frac{1.96 \cdot 12}{2} \right)^2$

5. Calcular el valor dentro del paréntesis: $\frac{1.96 \cdot 12}{2} = \frac{23.52}{2} = 11.76$

6. Elevar al cuadrado el resultado: $n = (11.76)^2 = 138.18$

7. Redondear al siguiente número entero: Dado que el tamaño de la muestra debe ser un número entero, redondeamos 138.18 al siguiente número entero, que es 139.

Por lo tanto, se requiere una muestra de tamaño 139 para estimar la media poblacional con un margen de error de 2 y un nivel de confianza del 95%.