What is the sum of the first 21 terms of the series given below?1 – 5 + 4 – 9 + 7 – 13 + 10 – 17 + ……………

Para encontrar la suma de los primeros 21 términos de la serie dada, primero debemos identificar el patrón de la serie. Observamos que la serie alterna entre términos positivos y negativos.

La serie es: 1, -5, 4, -9, 7, -13, 10, -17, ...

Podemos separar la serie en dos subseries: una con los términos positivos y otra con los términos negativos.

Subserie de términos positivos: 1, 4, 7, 10, ...

Esta subserie es una progresión aritmética donde el primer término $a_1$ es 1 y la diferencia común $d$ es 3.

Subserie de términos negativos: -5, -9, -13, -17, ...

Esta subserie es una progresión aritmética donde el primer término $a_1$ es -5 y la diferencia común $d$ es -4.

Primero, encontramos la suma de los términos positivos. La fórmula para la suma de los primeros $n$ términos de una progresión aritmética es:

$S_n = \frac{n}{2} \left(2a_1 + (n-1)d\right)$

Para los términos positivos, $n = 11$ (ya que hay 11 términos positivos en los primeros 21 términos de la serie), $a_1 = 1$ y $d = 3$:

$S_{11} = \frac{11}{2} \left(2 \cdot 1 + (11-1) \cdot 3\right)$ $S_{11} = \frac{11}{2} \left(2 + 30\right)$ $S_{11} = \frac{11}{2} \cdot 32$ $S_{11} = 11 \cdot 16$ $S_{11} = 176$

Ahora, encontramos la suma de los términos negativos. Para los términos negativos, $n = 10$ (ya que hay 10 términos negativos en los primeros 21 términos de la serie), $a_1 = -5$ y $d = -4$:

$S_{10} = \frac{10}{2} \left(2 \cdot (-5) + (10-1) \cdot (-4)\right)$ $S_{10} = 5 \left(-10 + (-36)\right)$ $S_{10} = 5 \left(-46\right)$ $S_{10} = -230$

Finalmente, sumamos las sumas de los términos positivos y negativos para obtener la suma total de los primeros 21 términos de la serie:

$S_{21} = 176 + (-230)$ $S_{21} = 176 - 230$ $S_{21} = -54$

Por lo tanto, la suma de los primeros 21 términos de la serie es $-54$.