Given that f(1) = 2, f'(1) = -1, g(1) = 0, and g'(1) = 1. If F(x) = f(x) cos cos (g (x)), then the value of F'(1) is?"

Para encontrar el valor de $F'(1)$, primero necesitamos aplicar la regla del producto y la regla de la cadena a la función $F(x) = f(x) \cos(\cos(g(x)))$.

Primero, recordemos que la derivada de un producto de dos funciones $u(x)$ y $v(x)$ es: $(uv)' = u'v + uv'$

En este caso, $u(x) = f(x)$ y $v(x) = \cos(\cos(g(x)))$.

Entonces, la derivada de $F(x)$ es: $F'(x) = f'(x) \cos(\cos(g(x))) + f(x) \frac{d}{dx}[\cos(\cos(g(x)))]$

Ahora, necesitamos encontrar la derivada de $\cos(\cos(g(x)))$ usando la regla de la cadena. Sea $h(x) = \cos(g(x))$, entonces: $\frac{d}{dx}[\cos(h(x))] = -\sin(h(x)) \cdot h'(x)$

Y la derivada de $h(x) = \cos(g(x))$ es: $h'(x) = -\sin(g(x)) \cdot g'(x)$

Por lo tanto: $\frac{d}{dx}[\cos(\cos(g(x)))] = -\sin(\cos(g(x))) \cdot (-\sin(g(x)) \cdot g'(x))$ $= \sin(\cos(g(x))) \cdot \sin(g(x)) \cdot g'(x)$

Ahora, sustituyamos esto en la derivada de $F(x)$: $F'(x) = f'(x) \cos(\cos(g(x))) + f(x) \sin(\cos(g(x))) \cdot \sin(g(x)) \cdot g'(x)$

Finalmente, evaluamos en $x = 1$: $F'(1) = f'(1) \cos(\cos(g(1))) + f(1) \sin(\cos(g(1))) \cdot \sin(g(1)) \cdot g'(1)$

Dado que $f(1) = 2$, $f'(1) = -1$, $g(1) = 0$, y $g'(1) = 1$, sustituimos estos valores: $F'(1) = (-1) \cos(\cos(0)) + 2 \sin(\cos(0)) \cdot \sin(0) \cdot 1$

Sabemos que $\cos(0) = 1$ y $\sin(0) = 0$, entonces: $F'(1) = (-1) \cos(1) + 2 \sin(1) \cdot 0 \cdot 1$ $= -\cos(1) + 0$ $= -\cos(1)$

Por lo tanto, el valor de $F'(1)$ es $-\cos(1)$.