Students of a class are made to stand in rows. If 4 students are extra in each row, then there would be 2 rows less. If 4 students are less in each row, there would be 4 more rows. The number of students in the class is

Vamos resolver o problema passo a passo.

1. Vamos definir algumas variáveis:

   • $n$ é o número total de alunos na classe.
   • $r$ é o número original de filas.
   • $s$ é o número original de alunos por fila.

2. De acordo com a primeira condição:

   • Se houverem 4 alunos a mais em cada fila, então o número de filas será $r - 2$.
   • Portanto, podemos escrever a equação: $n = (s + 4)(r - 2)$.

3. De acordo com a segunda condição:

   • Se houverem 4 alunos a menos em cada fila, então o número de filas será $r + 4$.
   • Portanto, podemos escrever a equação: $n = (s - 4)(r + 4)$.

4. Agora temos duas equações:

   • $n = (s + 4)(r - 2)$
   • $n = (s - 4)(r + 4)$

5. Vamos expandir ambas as equações:

   • $n = sr + 4r - 2s - 8$
   • $n = sr - 4r + 4s - 16$

6. Como ambas as expressões são iguais a $n$, podemos igualá-las:

   • $sr + 4r - 2s - 8 = sr - 4r + 4s - 16$

7. Simplificando a equação:

   • $4r - 2s - 8 = -4r + 4s - 16$
   • $4r + 4r - 2s - 4s = -16 + 8$
   • $8r - 6s = -8$
   • $4r - 3s = -4$
   • $4r = 3s - 4$
   • $r = \frac{3s - 4}{4}$

8. Substituindo $r$ na primeira equação:

   • $n = (s + 4)\left(\frac{3s - 4}{4} - 2\right)$
   • $n = (s + 4)\left(\frac{3s - 4 - 8}{4}\right)$
   • $n = (s + 4)\left(\frac{3s - 12}{4}\right)$
   • $n = \frac{(s + 4)(3s - 12)}{4}$
   • $n = \frac{3s^2 - 12s + 12s - 48}{4}$
   • $n = \frac{3s^2 - 48}{4}$
   • $n = \frac{3(s^2 - 16)}{4}$
   • $n = \frac{3(s - 4)(s + 4)}{4}$

9. Substituindo $r$ na segunda equação:

   • $n = (s - 4)\left(\frac{3s - 4}{4} + 4\right)$
   • $n = (s - 4)\left(\frac{3s - 4 + 16}{4}\right)$
   • $n = (s - 4)\left(\frac{3s + 12}{4}\right)$
   • $n = \frac{(s - 4)(3s + 12)}{4}$
   • $n = \frac{3s^2 + 12s - 12s - 48}{4}$
   • $n = \frac{3s^2 - 48}{4}$
   • $n = \frac{3(s^2 - 16)}{4}$
   • $n = \frac{3(s - 4)(s + 4)}{4}$

10. Portanto, o número de alunos na classe é $n = \frac{3(s - 4)(s + 4)}{4}$.

Para encontrar o valor exato de $n$, precisamos resolver a equação $4r - 3s = -4$ para valores inteiros de $r$ e $s$. Vamos tentar alguns valores:

• Se $s = 8$:
  • $r = \frac{3(8) - 4}{4} = \frac{24 - 4}{4} = \frac{20}{4} = 5$
  • $n = 8 \times 5 = 40$

Verificando com as condições:

• Se houverem 4 alunos a mais em cada fila: $8 + 4 = 12$ alunos por fila, $5 - 2 = 3$ filas.

  • $12 \times 3 = 36$ (não é igual a 40, então não é a solução correta).

• Se $s = 12$:

  • $r = \frac{3(12) - 4}{4} = \frac{36 - 4}{4} = \frac{32}{4} = 8$
  • $n = 12 \times 8 = 96$

Verificando com as condições:

• Se houverem 4 alunos a mais em cada fila: $12 + 4 = 16$ alunos por fila, $8 - 2 = 6$ filas.

  • $16 \times 6 = 96$ (condição satisfeita).

• Se houverem 4 alunos a menos em cada fila: $12 - 4 = 8$ alunos por fila, $8 + 4 = 12$ filas.

  • $8 \times 12 = 96$ (condição satisfeita).

Portanto, o número de alunos na classe é $96$.