Para encontrar el valor de $k$ y $P(x > 2)$, sigamos los siguientes pasos:

1. Encontrar el valor de $k$:

   La función de densidad de probabilidad $f(x)$ debe satisfacer la condición de que la integral de $f(x)$ sobre todo el rango de $x$ sea igual a 1. Es decir,

   $\int_{0}^{4} kx^2 \, dx = 1$

   Calculamos la integral:

   $\int_{0}^{4} kx^2 \, dx = k \int_{0}^{4} x^2 \, dx$

   La integral de $x^2$ es:

   $\int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3}$

   Evaluamos esta integral desde 0 hasta 4:

   $k \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{4} = k \left( \frac{4^3}{3} - \frac{0^3}{3} \right) = k \left( \frac{64}{3} \right)$

   Igualamos a 1:

   $k \left( \frac{64}{3} \right) = 1$

   Despejamos $k$:

   $k = \frac{3}{64}$

2. Encontrar $P(x > 2)$:

   La probabilidad $P(x > 2)$ se calcula integrando la función de densidad desde 2 hasta 4:

   $P(x > 2) = \int_{2}^{4} f(x) \, dx = \int_{2}^{4} \frac{3}{64} x^2 \, dx$

   Calculamos la integral:

   $\int_{2}^{4} \frac{3}{64} x^2 \, dx = \frac{3}{64} \int_{2}^{4} x^2 \, dx$

   Usamos la integral de $x^2$ que ya conocemos:

   $\frac{3}{64} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{2}^{4} = \frac{3}{64} \left( \frac{4^3}{3} - \frac{2^3}{3} \right) = \frac{3}{64} \left( \frac{64}{3} - \frac{8}{3} \right) = \frac{3}{64} \left( \frac{56}{3} \right) = \frac{3 \cdot 56}{64 \cdot 3} = \frac{56}{64} = \frac{7}{8}$

   Por lo tanto,

   $P(x > 2) = \frac{7}{8} = 0.875$

La respuesta correcta es:

d. 0.8755