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Un videoclub está especializado en películas de tres tipos: infantiles, acción y terror. Se sabe que: El 60% de las películas infantiles más el 50% de las de acción representan el 30% del total de las películas. El 20% de las infantiles más el 60% de las de acción, más el 60% de las de terror representan la mitad del total de las películas. Hay 100 películas más de acción que infantiles. Halla el número de películas de cada tipoA ) Infantiles: 400 películas. Acción: 500 películas. Terror: 900 películas.B ) Infantiles: 500 películas. Acción: 600 películas. Terror: 900 películas.C ) Infantiles: 550 películas. Acción: 650 películas. Terror: 950 películas

Question

Un videoclub está especializado en películas de tres tipos: infantiles, acción y terror. Se sabe que: El 60% de las películas infantiles más el 50% de las de acción representan el 30% del total de las películas. El 20% de las infantiles más el 60% de las de acción, más el 60% de las de terror representan la mitad del total de las películas. Hay 100 películas más de acción que infantiles. Halla el número de películas de cada tipoA ) Infantiles: 400 películas. Acción: 500 películas. Terror: 900 películas.B ) Infantiles: 500 películas. Acción: 600 películas. Terror: 900 películas.C ) Infantiles: 550 películas. Acción: 650 películas. Terror: 950 películas

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Solution

Para resolver el problema, vamos a definir las variables:

  • I I : número de películas infantiles
  • A A : número de películas de acción
  • T T : número de películas de terror

De acuerdo con la información proporcionada, tenemos las siguientes ecuaciones:

  1. El 60% de las películas infantiles más el 50% de las de acción representan el 30% del total de las películas: 0.6I+0.5A=0.3(I+A+T) 0.6I + 0.5A = 0.3(I + A + T)

  2. El 20% de las infantiles más el 60% de las de acción, más el 60% de las de terror representan la mitad del total de las películas: 0.2I+0.6A+0.6T=0.5(I+A+T) 0.2I + 0.6A + 0.6T = 0.5(I + A + T)

  3. Hay 100 películas más de acción que infantiles: A=I+100 A = I + 100

Vamos a resolver estas ecuaciones paso a paso.

Paso 1: Simplificar la primera ecuación

0.6I+0.5A=0.3(I+A+T) 0.6I + 0.5A = 0.3(I + A + T) 0.6I+0.5A=0.3I+0.3A+0.3T 0.6I + 0.5A = 0.3I + 0.3A + 0.3T 0.6I0.3I+0.5A0.3A=0.3T 0.6I - 0.3I + 0.5A - 0.3A = 0.3T 0.3I+0.2A=0.3T 0.3I + 0.2A = 0.3T I+23A=T(Multiplicamos todo por 10/3) I + \frac{2}{3}A = T \quad \text{(Multiplicamos todo por 10/3)}

Paso 2: Simplificar la segunda ecuación

0.2I+0.6A+0.6T=0.5(I+A+T) 0.2I + 0.6A + 0.6T = 0.5(I + A + T) 0.2I+0.6A+0.6T=0.5I+0.5A+0.5T 0.2I + 0.6A + 0.6T = 0.5I + 0.5A + 0.5T 0.2I0.5I+0.6A0.5A+0.6T0.5T=0 0.2I - 0.5I + 0.6A - 0.5A + 0.6T - 0.5T = 0 0.3I+0.1A+0.1T=0 -0.3I + 0.1A + 0.1T = 0 3I+A+T=0(Multiplicamos todo por 10) -3I + A + T = 0 \quad \text{(Multiplicamos todo por 10)} A+T=3I A + T = 3I

Paso 3: Sustituir A=I+100 A = I + 100 en las ecuaciones simplificadas

De la ecuación I+23A=T I + \frac{2}{3}A = T : I+23(I+100)=T I + \frac{2}{3}(I + 100) = T I+23I+2003=T I + \frac{2}{3}I + \frac{200}{3} = T 3I+2I+2003=T \frac{3I + 2I + 200}{3} = T 5I+2003=T \frac{5I + 200}{3} = T T=5I+2003 T = \frac{5I + 200}{3}

De la ecuación A+T=3I A + T = 3I : (I+100)+T=3I (I + 100) + T = 3I I+100+T=3I I + 100 + T = 3I T=3II100 T = 3I - I - 100 T=2I100 T = 2I - 100

Paso 4: Igualar las dos expresiones de T T

5I+2003=2I100 \frac{5I + 200}{3} = 2I - 100 Multiplicamos todo por 3 para eliminar el denominador: 5I+200=6I300 5I + 200 = 6I - 300 200+300=6I5I 200 + 300 = 6I - 5I 500=I 500 = I I=500 I = 500

Paso 5: Calcular A A y T T

A=I+100 A = I + 100 A=500+100 A = 500 + 100 A=600 A = 600

T=2I100 T = 2I - 100 T=2(500)100 T = 2(500) - 100 T=1000100 T = 1000 - 100 T=900 T = 900

Por lo tanto, el número de películas de cada tipo es:

  • Infantiles: 500 películas
  • Acción: 600 películas
  • Terror: 900 películas

La respuesta correcta es la opción B.

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