If f(x) is an even function and g(x) is an odd function, which of the following must be even?I. f(g(x))II. f(x) + g(x)III. f(x)g(x)A.I onlyB.II onlyC.I and II onlyD.II and III onlyE.I, II, and III

Para determinar cuál de las funciones dadas debe ser par, primero recordemos las definiciones de funciones pares e impares:

• Una función $f(x)$ es par si $f(-x) = f(x)$ para todo $x$.
• Una función $g(x)$ es impar si $g(-x) = -g(x)$ para todo $x$.

Ahora, evaluemos cada una de las opciones:

I. $f(g(x))$

Dado que $g(x)$ es impar, tenemos que $g(-x) = -g(x)$. Evaluemos $f(g(-x))$:

$f(g(-x)) = f(-g(x))$

Como $f(x)$ es par, sabemos que $f(-g(x)) = f(g(x))$. Por lo tanto, $f(g(x))$ es par.

II. $f(x) + g(x)$

Evaluemos $f(-x) + g(-x)$:

$f(-x) + g(-x) = f(x) + (-g(x)) = f(x) - g(x)$

Esto no es igual a $f(x) + g(x)$, por lo que $f(x) + g(x)$ no es par.

III. $f(x)g(x)$

Evaluemos $f(-x)g(-x)$:

$f(-x)g(-x) = f(x)(-g(x)) = -f(x)g(x)$

Esto es igual a $-[f(x)g(x)]$, lo que indica que $f(x)g(x)$ es impar, no par.

Por lo tanto, la única opción que debe ser par es la I.

La respuesta correcta es A.