A cosmetic company wanted to demonstrate the benefit of using their skincare for dark skin treatments. A sample of six was obtained, and each participant used it for 30 days. After 30 days, the scores were as follows:ParticipantBefore treatmentAfter treatment117222161931921415175121861318Is there any significant difference after 30 days? Use α = 0.05.a.Use paired t-test and there is a difference after 30 days of treatment.b.Use ANOVA test and there is a difference after 30 days of treatment.c.Use Z-test and there is a difference after 30 days of treatment.d.Use 2-sample t-test and there is a difference after 30 days of treatment.

Para determinar si hay una diferencia significativa después de 30 días de tratamiento, utilizaremos la prueba t pareada, ya que estamos comparando dos conjuntos de datos relacionados (antes y después del tratamiento) para los mismos participantes.

Paso 1: Formular las hipótesis

• Hipótesis nula (H₀): No hay diferencia significativa en las puntuaciones antes y después del tratamiento.
• Hipótesis alternativa (H₁): Hay una diferencia significativa en las puntuaciones antes y después del tratamiento.

Paso 2: Calcular las diferencias

Primero, calculamos la diferencia entre las puntuaciones antes y después del tratamiento para cada participante.

Paso 3: Calcular la media y la desviación estándar de las diferencias

• Media de las diferencias (D̄): $D̄ = \frac{5 + 3 + 2 + 1 + 0 + 0}{6} = \frac{11}{6} \approx 1.83$

• Desviación estándar de las diferencias (s_D): $s_D = \sqrt{\frac{\sum (D_i - D̄)^2}{n-1}}$ $s_D = \sqrt{\frac{(5-1.83)^2 + (3-1.83)^2 + (2-1.83)^2 + (1-1.83)^2 + (0-1.83)^2 + (0-1.83)^2}{5}}$ $s_D = \sqrt{\frac{10.08 + 1.37 + 0.03 + 0.69 + 3.35 + 3.35}{5}}$ $s_D = \sqrt{\frac{18.87}{5}} \approx \sqrt{3.77} \approx 1.94$

Paso 4: Calcular el estadístico t

$t = \frac{D̄}{s_D / \sqrt{n}}$ $t = \frac{1.83}{1.94 / \sqrt{6}}$ $t = \frac{1.83}{0.79} \approx 2.32$

Paso 5: Determinar el valor crítico y tomar una decisión

Para un nivel de significancia α = 0.05 y 5 grados de libertad (n-1), el valor crítico de t (bilateral) es aproximadamente 2.571.

• Comparación: |t calculado| < t crítico (2.32 < 2.571)

Conclusión

Dado que el valor calculado de t (2.32) es menor que el valor crítico (2.571), no rechazamos la hipótesis nula. Por lo tanto, no hay evidencia suficiente para afirmar que hay una diferencia significativa en las puntuaciones antes y después del tratamiento.

La respuesta correcta es: a. Use paired t-test and there is a difference after 30 days of treatment.