Find the value of c such that y = x + c is a tangent to the parabola y = x2 − x − 12.Hint: Consider the discriminant of the resulting quadratic.b i Sketch the parabola with equation y = −2x2 − 6x + 2.ii Find the values of m for which the straight line y = mx + 6 is tangent to theparabola. Hint: Use the discriminant of the resulting quadratic.6 a Find the value of c such that the line with equation y = 2x + c is tangent to theparabola with equation y = x2 + 3x.

Claro, vamos a resolver cada parte del problema paso a paso.

1. Encontrar el valor de $c$ tal que $y = x + c$ sea tangente a la parábola $y = x^2 - x - 12$.

Para que la recta sea tangente a la parábola, el sistema de ecuaciones debe tener exactamente una solución. Esto significa que el discriminante de la ecuación cuadrática resultante debe ser igual a cero.

Primero, igualamos las dos ecuaciones: $x + c = x^2 - x - 12$

Reorganizamos para formar una ecuación cuadrática: $x^2 - 2x - 12 - c = 0$

El discriminante de una ecuación cuadrática $ax^2 + bx + c = 0$ es $b^2 - 4ac$. En este caso, $a = 1$, $b = -2$, y $c = -12 - c$.

El discriminante debe ser igual a cero: $(-2)^2 - 4(1)(-12 - c) = 0$ $4 + 48 + 4c = 0$ $52 + 4c = 0$ $4c = -52$ $c = -13$

Entonces, el valor de $c$ es $-13$.

2. i) Esbozar la parábola con la ecuación $y = -2x^2 - 6x + 2$.

Para esbozar la parábola, primero encontramos el vértice. La fórmula para el vértice de una parábola $y = ax^2 + bx + c$ es $x = -\frac{b}{2a}$.

Aquí, $a = -2$, $b = -6$, y $c = 2$: $x = -\frac{-6}{2(-2)} = \frac{6}{-4} = -1.5$

Sustituimos $x = -1.5$ en la ecuación para encontrar $y$: $y = -2(-1.5)^2 - 6(-1.5) + 2$ $y = -2(2.25) + 9 + 2$ $y = -4.5 + 9 + 2$ $y = 6.5$

El vértice es $(-1.5, 6.5)$. La parábola abre hacia abajo porque $a$ es negativo.

ii) Encontrar los valores de $m$ para los cuales la recta $y = mx + 6$ es tangente a la parábola.

Igualamos las dos ecuaciones: $mx + 6 = -2x^2 - 6x + 2$

Reorganizamos para formar una ecuación cuadrática: $-2x^2 - (6 + m)x + 2 - 6 = 0$ $-2x^2 - (6 + m)x - 4 = 0$

El discriminante debe ser igual a cero: $(6 + m)^2 - 4(-2)(-4) = 0$ $(6 + m)^2 - 32 = 0$ $(6 + m)^2 = 32$ $6 + m = \pm \sqrt{32}$ $6 + m = \pm 4\sqrt{2}$

Entonces, los valores de $m$ son: $m = -6 + 4\sqrt{2}$ $m = -6 - 4\sqrt{2}$

3. Encontrar el valor de $c$ tal que la recta con ecuación $y = 2x + c$ sea tangente a la parábola con ecuación $y = x^2 + 3x$.

Igualamos las dos ecuaciones: $2x + c = x^2 + 3x$

Reorganizamos para formar una ecuación cuadrática: $x^2 + 3x - 2x - c = 0$ $x^2 + x - c = 0$

El discriminante debe ser igual a cero: $1^2 - 4(1)(-c) = 0$ $1 + 4c = 0$ $4c = -1$ $c = -\frac{1}{4}$

Entonces, el valor de $c$ es $-\frac{1}{4}$.