The kinetic energy of a object with mass m𝑚 (kilograms) and velocity v𝑣 (metres per second) is given byK=12mv2.𝐾=12𝑚𝑣2.  Suppose you drop an orange, wherethe orange has a mass of m=1/6𝑚=1/6   kilograms,the acceleration due to gravity is dvdt=−9.8𝑑𝑣𝑑𝑡=−9.8   metres per second per second. By the chain rule, the change in kinetic energy with respect to time is a function of v𝑣 : dKdt=𝑑𝐾𝑑𝑡=     .When the velocity is 44 metres per second, the rate of change in kinetic energy isdKdt∣∣v=4=𝑑𝐾𝑑𝑡|𝑣=4=   .

Para resolver el problema, sigamos los siguientes pasos:

1. Expresión de la energía cinética: La energía cinética $K$ de un objeto con masa $m$ y velocidad $v$ está dada por: $K = \frac{1}{2}mv^2$

2. Derivada de la energía cinética con respecto al tiempo: Usamos la regla de la cadena para encontrar la derivada de $K$ con respecto al tiempo $t$: $\frac{dK}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{2}mv^2 \right)$ Como $m$ es constante, podemos sacarla fuera de la derivada: $\frac{dK}{dt} = \frac{1}{2}m \frac{d}{dt} (v^2)$ Aplicamos la regla de la cadena a $v^2$: $\frac{d}{dt} (v^2) = 2v \frac{dv}{dt}$ Sustituimos esto en la expresión anterior: $\frac{dK}{dt} = \frac{1}{2}m \cdot 2v \frac{dv}{dt} = mv \frac{dv}{dt}$

3. Sustitución de valores: Dado que la aceleración debida a la gravedad es $\frac{dv}{dt} = -9.8$ metros por segundo al cuadrado y la masa del objeto es $m = \frac{1}{6}$ kilogramos, sustituimos estos valores en la expresión: $\frac{dK}{dt} = \left( \frac{1}{6} \right) v (-9.8)$ Simplificamos: $\frac{dK}{dt} = -\frac{9.8}{6} v$

4. Evaluación en $v = 4$ metros por segundo: Sustituimos $v = 4$ en la expresión: $\frac{dK}{dt} \bigg|_{v=4} = -\frac{9.8}{6} \cdot 4$ Calculamos el valor numérico: $\frac{dK}{dt} \bigg|_{v=4} = -\frac{39.2}{6} = -6.5333 \, \text{(aproximadamente)}$

Por lo tanto, cuando la velocidad es $4$ metros por segundo, la tasa de cambio de la energía cinética es aproximadamente $-6.5333$ julios por segundo.